probabilidad

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Cálculo de probabilidad.   Método de Chi-Cuadrado.

CALCULO DE PROBABILIDAD

 Definición de probabilidad: número de veces que se verifica un evento determinado en un número de casos totales observados. 

Calculemos la probabilidad de que salga un cinco cuando tiro un dado. Como todos sabemos el dado tiene 6 caras, cada una con un número distinto, numerados del 1 al 6. Por lo tanto la probabilidad de sacar un cinco será:

                 1

p ( 5 ) =  ----- 

                 6

Y así para cada uno de los números del 1 al 6. Si sumáramos cada una de las probabilidades individuales nos daría 6/6, o sea 1, que es la probabilidad total.

O dicho de otro modo, si tiráramos 6 veces el dado, esperaríamos que el cinco saliera una vez. Obviamente, las otras veces se esperaría que saliera un uno, un dos, un tres, etc. pues cada número tiene la misma probabilidad de ocurrir. Pero, ¿ esto siempre ocurre así ? ¿ Siempre observamos lo esperado ?

Probabilidad compuesta. La probabilidad de ocurrencia simultánea de dos o más eventos independientes es el producto de las probabilidades de cada evento independiente.

Ejemplo 1: ¿ Cuál es la probabilidad que en una familia de dos hijos, 

a) los dos sean machos

b) un macho y una hembra

c) dos hembras ?

 

bullet

la probabilidad de que un hijo sea macho es igual a 1/2

Por lo tanto, la probabilidad compuesta será:

p (m;m)= 1/2 x 1/2 = ( 1/2 ) 2 = 1/4

bullet

puede ser un macho y una hembra y además una hembra y un macho

por lo tanto en este caso sería:

p(m;h)= 2 x 1/2 x 1/2 = 1/2

bulletigual que para el caso de dos machos, 1/4.

 

Otro modo: Habría que tener en cuenta el cuadrado del binomio

( a + b)2 = a2 + 2 a b + b2

siendo: 

a = p (macho) = 1/2

b = p (hembra) = 1/2

La probabilidad de que los 2 sean machos es igual a 1/4 (primer término del desarrollo del binomio= a2 )

La probabilidad de 1 macho y una hembra es igual a 1/2 ( segundo término del desarrollo del binomio = 2 a b )

La probabilidad de 2 hembras es igual a 1/4 ( tercer término del desarrollo del binomio = b2 )

Ejemplo 2: Supongamos ahora  un caso de 3 hijos. ¿ Cuál es la probabilidad de cada una de las combinaciones posibles ?

combinaciones de hijos probabilidad
3 machos (1/2)3 MMM 1/8
2 machos y una hembra 3 .  (1/2)2 . 1/2  MMH-MHM-HMM 3/8
1 macho y dos hembras 3 . (1/2) . (1/2)2 HHM-HMH-MHH 3/8
3 hembras (1/2)3 HHH 1/8
probabilidad total 8/8 = 1

 

Estas probabilidades son el desarrollo del binomio

( a + b )3 = a3 +3 a2 b + 3 a b2 + b3

Estos resultados también pueden ser obtenidos mediante el Teorema de Bernulli.

                           N !

p(m/n) =   ------------------  .  pm  .  qn-m

                   M ! ( N - M ) !

siendo: 

p(m/n) = la probabilidad de ocurrencia de un evento "m" en un número "n" de casos.

q = ( 1-p ) = la probabilidad del evento opuesto.

N ! = número de evento totales (factorial)

M ! = número de veces que se verifica el evento (factorial )

Ejemplo 3: retomemos el caso de los tres hijos y calculemos el caso particular de 2 hembras y un macho, o sea 2 hembras sobre tres hijos.

                            3 !

p ( 2/3 ) =   --------------  . (1/2)2 . (1/2)1

                        2! . 1!

 

                        3.2.1

                    = ---------  . (1/2)2 . 1/2 = 3 (1/2)2 (1/2) = 3/8

                        2.1.1

 

Como podemos observar el resultado es el mismo que trabajando con el desarrollo del binomio. Obviamente cualquiera de los dos modos es correcto.

Ejemplo 4: ¿ Cuál es la probabilidad que en una familia de 5 hijos todos sean del mismo sexo ?

Caso 1= todos machos = ( 1/2 )5 = 1/32

Caso 2= todas hembras = ( 1/2 )5 = 1/32

El resultado será la suma de las dos probabilidades, o sea:

1/32 ( 5 machos ) + 1/32 ( 5 hembras ) = 2 /32 = 1/16

O sea, la probabilidad que una familia tenga todos los hijos del mismo sexo será 1/ 16. 

También podemos expresarlo de otro modo: que de todas las familias con 5 hijos, se espera que una de cada 16 familias tenga todos los hijos del mismo sexo, ya sea todos varones o todas niñas.

En este ejemplo se presenta la Regla de la suma, que dice que la probabilidad de ocurrencia de cualquiera de dos hechos excluyentes mutuamente es la suma de las probabilidades individuales. En nuestro caso tener 5 varones es excluyente con tener 5 mujeres.

Ejemplo 5: ¿ Cuál es la probabilidad que en una tirada de 2 dados, obtengamos dos tres o dos seis ?

La probabilidad de 2 tres = 1/6 . 1/6 = 1/36

La probabilidad de 2 seis = 1/6 . 1/6 = 1/36

La probabilidad conjunta = 1/36 + 1/36 = 1/18

METODO DEL CHI - CUADRADO

Muchas veces cuando estamos realizando un problema de genética, proponemos una hipótesis, según la cual los genes bajo estudio van a ser heredados y por lo tanto, a partir de esa hipótesis proponemos los resultados esperados. 

En otras palabras, según el tipo de herencia con que estemos trabajando, tendremos un número de individuos observados en cada clase genotípica o fenotípica y por el otro lado, de acuerdo a ese tipo de herencia, tendremos los valores que esperamos para no rechazar lo que se llama la hipótesis nula.

Seguramente lo antedicho se entenderá mucho mejor con un ejemplo. 

Volvamos a los porotos de Mendel y recordemos que de la cruza entre individuos heterocigóticos para dos genes, por ejemplo, el gen para el tegumento de las semillas y el gen para el color de las semillas, se espera una descendencia igual a:

9/16 liso-amarillo

3/16 liso-verde

3/16 rugoso-amarillo

1/16 rugoso-verde

Obviamente, en un trabajo que estemos analizando esta segregación, esperaremos obtener esas proporciones en la descendencia de esa cruza. 

Por lo tanto mi hipótesis nula será: proporciones esperadas 9:3:3:1.

De acuerdo a los datos recogidos, sobre 100 semillas se observaron:

58 liso-amarillo

20 liso-verde

21 rugoso-amarillo

1 rugoso-verde

Debemos calcular el valor de Chi-cuadrado (c2 ) para nuestro experimento y luego confrontarlo con aquel de tablas. 

                ( o - e ) 2

Chi2   =   --------------

                     e

Para el cálculo del valor de  c2 se deberá realizar la sumatoria entre todos las desviaciones entre los valores observados y aquellos esperados para cada clase fenotípica, en nuestro caso 4 clases.

              ( 58 - 56.25)2   ( 20 - 18.75 )2     (21 - 18.75)2       (1-6.25)2

Chi2 = ----------------  +  ---------------- +  ----------------   +  -------------- =

                 56.25                 18.75                 18.75                  6.25

 

      =       0.054        +      0.0833        +        0.27        +        4.41 =

 c2 =   4.8173

Ahora deberemos ir a la tabla de valores de c2  y ver a que probabilidad corresponde nuestro valor. 

Para ello deberemos primero fijar cuantos grados de libertad posee nuestro experimento. Los grados de libertad serán igual a la cantidad total de clases fenotípicas ( 4 ) menos 1. Por lo tanto los grados de libertad son igual a 3.

El valor crítico para una probabilidad del 5 % y 3 grados de libertad es igual a 7.81. Al no superar nuestro valor de c2 ( 4.8173) al valor de tablas, podemos no rechazar nuestra hipótesis nula y concluir que las diferencias observadas con respecto a las esperadas son debidas exclusivamente al azar.

O dicho de otra manera, nuestro valor de c2 = 4.8173 cae en la tabla para 3 grados de libertad entre 0.20 ( 20% ) y 0.10 (10% ). Entonces, si nuestra hipótesis nula es correcta, una desviación como la observada es esperada en al menos el 10 % de las veces.

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Creative Commons License www.librogen.com.ar fecha última actualización 13/03/2010
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